2.6子空间
Subspaces
1. 子空间定义⚓
一个向量空间 V 中的子空间是指 \(R^n\) 的一个非空子集 V，满足以下三个条件：
非空（Non-emptiness）：零向量 0 属于 \(R^n\)。
闭加性（Closure under addition）：对于在 V 中的任意向量 u, v，其和 u + v 也在 V 中。
闭乘性（Closure under scalar multiplication）：对于 \(R^n\) 中的任意标量 c 和 V 中的向量 u ，标量乘积 cu 也在 V 中。
换句话说，一个子空间是原向量空间中的一个子集，它在加法和标量乘法下仍然保持封闭，并包含原向量空间中的零向量。这意味着子空间中的所有向量在进行加法和标量乘法运算后仍然处于同一子空间内。
举例：
- \(R^n\) 是它自己的子空间
- 只包含零向量 {0} 的子集是 \(R^n\) 的子空间
- 穿过原点的直线是子空间
- 穿过原点的平面是子空间
反例：
- 不包含原点的直线，不满足第一条件
- 单位圆，三个条件都不满足
- \(R^2\) 的第一象限，不满足第三条件（c 为负数）
子集（subset）：\(R^n\) 的子集是任何向量的集合。
2. 子空间的常见类型⚓
定理：span 是子空间，并且子空间是 span。如果 v_1,v_2,...,v_p 是 \(R^n\) 的任意向量，那么 Span{v_1,v_2,...,v_p} 是 \(R^n\) 的一个子空间。而且，对于 p<=n, \(R^n\) 的任何子空间都能被写成 线性独立向量集的一个 span。